Jawaban soal nomor 2 latihan 4.1.2 matematika kelas 12

Menyingkap Misteri Fungsi Logaritma: Analisis Mendalam Jawaban Soal Nomor 2 Latihan 4.1.2 Matematika Kelas 12

Dalam perjalanan menaklukkan materi matematika kelas 12, fungsi logaritma merupakan salah satu topik krusial yang seringkali menuntut pemahaman mendalam. Latihan 4.1.2 seringkali menjadi batu loncatan penting untuk menguji pemahaman siswa terhadap sifat-sifat dan aplikasi fungsi logaritma. Artikel ini akan mengupas tuntas jawaban dari soal nomor 2 pada latihan tersebut, tidak hanya menyajikan solusi matematisnya, tetapi juga menggali konsep-konsep di baliknya, berbagai pendekatan penyelesaian, serta implikasinya dalam pemecahan masalah yang lebih luas.

Pengantar: Mengapa Fungsi Logaritma Begitu Penting?

Sebelum kita melangkah ke soal spesifik, penting untuk merefleksikan mengapa fungsi logaritma memegang peranan penting dalam matematika dan berbagai disiplin ilmu. Fungsi logaritma adalah kebalikan (invers) dari fungsi eksponensial. Jika $a^b = c$, maka $log_a c = b$. Hubungan fundamental ini memungkinkan kita untuk menyelesaikan persamaan-persamaan di mana variabel berada dalam eksponen, yang sering muncul dalam berbagai model ilmiah seperti pertumbuhan populasi, peluruhan radioaktif, perhitungan bunga majemuk, dan pengukuran intensitas suara (desibel) maupun gempa bumi (skala Richter). Memahami fungsi logaritma berarti membuka pintu untuk menganalisis fenomena yang berkembang secara eksponensial atau menyusut secara eksponensial.

Soal Nomor 2 Latihan 4.1.2: Analisis dan Pendekatan Awal

Mari kita asumsikan soal nomor 2 pada latihan 4.1.2 berfokus pada penyelesaian persamaan logaritma. Tanpa teks soal yang spesifik, kita akan mengambil contoh soal yang umum ditemui dalam bab ini, misalnya:

Soal Contoh: Selesaikan persamaan logaritma berikut: $log_2 (x-1) + log_2 (x+1) = 3$

Soal seperti ini menguji kemampuan siswa dalam menerapkan sifat-sifat logaritma dan mengubah persamaan logaritma menjadi bentuk yang lebih sederhana untuk diselesaikan.

Langkah 1: Memahami Domain Fungsi Logaritma

Sebelum memulai penyelesaian, langkah krusial pertama adalah menentukan domain dari setiap ekspresi logaritma yang ada dalam persamaan. Ingatlah bahwa argumen dari sebuah fungsi logaritma harus selalu positif.

• Untuk $log_2 (x-1)$, kita harus memiliki $x-1 > 0$, yang berarti $x > 1$.
• Untuk $log_2 (x+1)$, kita harus memiliki $x+1 > 0$, yang berarti $x > -1$.

Agar kedua kondisi ini terpenuhi secara bersamaan, kita harus mengambil irisan dari kedua domain tersebut. Irisan dari $x > 1$ dan $x > -1$ adalah $x > 1$. Ini adalah syarat mutlak yang harus dipenuhi oleh setiap solusi yang kita temukan. Jika solusi yang kita peroleh tidak memenuhi syarat ini, maka solusi tersebut tidak valid.

Langkah 2: Menerapkan Sifat-Sifat Logaritma

Soal ini melibatkan penjumlahan dua logaritma dengan basis yang sama. Sifat logaritma yang relevan di sini adalah:

$log_a M + log_a N = log_a (M cdot N)$

Menerapkan sifat ini pada soal kita:

$log_2 (x-1) + log_2 (x+1) = log_2 $

Sehingga persamaan awal kita menjadi:

$log_2 = 3$

Langkah 3: Mengubah Persamaan Logaritma menjadi Bentuk Eksponensial

Sekarang, kita memiliki bentuk $log_a c = b$, yang dapat diubah menjadi bentuk eksponensial $a^b = c$. Dalam kasus kita, $a=2$, $b=3$, dan $c = (x-1)(x+1)$.

Maka, persamaan tersebut menjadi:

$2^3 = (x-1)(x+1)$

Langkah 4: Menyederhanakan dan Menyelesaikan Persamaan Aljabar

Kita tahu bahwa $2^3 = 8$. Persamaan menjadi:

$8 = (x-1)(x+1)$

Perhatikan bahwa $(x-1)(x+1)$ adalah bentuk selisih dua kuadrat, yang dapat disederhanakan menjadi $x^2 – 1^2 = x^2 – 1$.

Sehingga, persamaan kita menjadi:

$8 = x^2 – 1$

Sekarang, kita selesaikan persamaan kuadrat ini untuk mencari nilai $x$:

$x^2 = 8 + 1$
$x^2 = 9$

Mengambil akar kuadrat dari kedua sisi:

$x = pm sqrt9$
$x = pm 3$

Jadi, kita mendapatkan dua solusi potensial: $x = 3$ dan $x = -3$.

Langkah 5: Memverifikasi Solusi dengan Domain

Ini adalah langkah terpenting untuk memastikan validitas solusi. Kita harus membandingkan solusi potensial dengan domain yang telah kita tentukan sebelumnya, yaitu $x > 1$.

• Untuk $x = 3$:
  Apakah $3 > 1$? Ya.
  Jadi, $x = 3$ adalah solusi yang valid.

• Untuk $x = -3$:
  Apakah $-3 > 1$? Tidak.
  Jadi, $x = -3$ bukanlah solusi yang valid karena tidak memenuhi syarat domain. Jika kita substitusikan kembali ke persamaan awal, $log_2 (-3-1) = log_2 (-4)$, yang merupakan logaritma dari bilangan negatif, sehingga tidak terdefinisi dalam bilangan real.

Kesimpulan Jawaban Soal:

Dengan demikian, solusi tunggal dari persamaan $log_2 (x-1) + log_2 (x+1) = 3$ adalah $x = 3$.

Diskusi Mendalam dan Variasi Soal

Jawaban di atas merupakan solusi untuk satu jenis soal persamaan logaritma. Namun, dalam latihan 4.1.2, kemungkinan ada variasi lain yang menguji pemahaman siswa secara lebih luas. Mari kita eksplorasi beberapa variasi dan konsep yang terkait:

1. Pengurangan Logaritma:

Jika soal melibatkan pengurangan, misalnya $log_a M – log_a N = log_a left(fracMNright)$. Contoh: $log_3 (x+2) – log_3 (x-1) = 1$.

• Domain: $x+2 > 0 Rightarrow x > -2$ dan $x-1 > 0 Rightarrow x > 1$. Irisannya adalah $x > 1$.
• Penerapan Sifat: $log_3 left(fracx+2x-1right) = 1$.
• Bentuk Eksponensial: $3^1 = fracx+2x-1$.
• Penyelesaian: $3(x-1) = x+2 Rightarrow 3x – 3 = x+2 Rightarrow 2x = 5 Rightarrow x = frac52$.
• Verifikasi: $frac52 = 2.5$, yang lebih besar dari 1. Solusi valid.

2. Logaritma dengan Basis Berbeda:

Jika basis logaritma berbeda, kita perlu menggunakan sifat perubahan basis: $log_a M = fraclog_b Mlog_b a$. Ini seringkali mengarah pada penyelesaian yang lebih kompleks.

3. Persamaan yang Melibatkan Variabel di Basis Logaritma:

Contoh: $log_x (x+2) = 2$.

• Domain: $x > 0$ (basis harus positif), $x neq 1$ (basis tidak boleh 1), dan $x+2 > 0 Rightarrow x > -2$. Irisannya adalah $x > 0$ dan $x neq 1$.
• Bentuk Eksponensial: $x^2 = x+2$.
• Penyelesaian: $x^2 – x – 2 = 0 Rightarrow (x-2)(x+1) = 0$. Solusi potensial: $x=2$ dan $x=-1$.
• Verifikasi:
  • $x=2$: memenuhi $x > 0$ dan $x neq 1$. Valid.
  • $x=-1$: tidak memenuhi $x > 0$. Tidak valid.
    Solusi: $x=2$.

4. Persamaan yang Memerlukan Substitusi (Variabel Bantu):

Jika ada bentuk logaritma yang berulang, kita bisa menggunakan substitusi. Contoh: $(log_2 x)^2 – 5 log_2 x + 6 = 0$.

• Domain: $x > 0$.
• Substitusi: Misalkan $y = log_2 x$. Persamaan menjadi $y^2 – 5y + 6 = 0$.
• Penyelesaian Persamaan Kuadrat: $(y-2)(y-3) = 0$. Maka $y=2$ atau $y=3$.
• Kembalikan Substitusi:
  • Jika $y=2$: $log_2 x = 2 Rightarrow x = 2^2 = 4$.
  • Jika $y=3$: $log_2 x = 3 Rightarrow x = 2^3 = 8$.
• Verifikasi: Kedua solusi, $x=4$ dan $x=8$, memenuhi domain $x > 0$.
  Solusi: $x=4$ atau $x=8$.

Implikasi dan Relevansi Konsep:

Pemahaman mendalam tentang soal nomor 2 ini tidak hanya sekadar menghafal rumus, tetapi juga melatih kemampuan berpikir logis dan analitis. Beberapa implikasi penting meliputi:

• Pemodelan Matematika: Kemampuan menyelesaikan persamaan logaritma sangat penting dalam membangun dan menganalisis model-model matematis di berbagai bidang. Misalnya, dalam biologi, pertumbuhan bakteri atau populasi hewan seringkali dimodelkan dengan fungsi logaritma.
• Pemecahan Masalah Nyata: Skala Richter untuk gempa bumi, skala pH untuk keasaman, dan skala desibel untuk intensitas suara adalah contoh nyata bagaimana logaritma digunakan untuk mengukur fenomena yang memiliki rentang nilai yang sangat luas. Memahami logaritma memungkinkan kita untuk menginterpretasikan data-data ini secara akurat.
• Pengembangan Keterampilan Aljabar: Soal-soal logaritma seringkali bersinggungan dengan penyelesaian persamaan kuadrat, linier, dan pemahaman tentang fungsi invers. Ini memperkuat fondasi aljabar siswa secara keseluruhan.
• Ketelitian dalam Verifikasi: Penekanan pada verifikasi solusi dengan domain adalah aspek krusial yang sering terlupakan. Ini mengajarkan pentingnya memperhatikan batasan-batasan dalam suatu penyelesaian matematis.

Tips Tambahan untuk Menguasai Fungsi Logaritma:

1. Hafalkan Sifat-Sifat Dasar: Pastikan Anda menguasai sifat-sifat logaritma seperti $log_a (MN) = log_a M + log_a N$, $log_a left(fracMNright) = log_a M – log_a N$, $log_a M^p = p log_a M$, dan $log_a a = 1$, $log_a 1 = 0$.
2. Pahami Definisi Logaritma: Selalu ingat hubungan fundamental $log_a c = b Leftrightarrow a^b = c$.
3. Jangan Lupakan Domain: Ini adalah kunci utama dalam menyelesaikan persamaan logaritma. Selalu tentukan domain di awal.
4. Latihan Variasi Soal: Kerjakan berbagai jenis soal, mulai dari yang paling sederhana hingga yang lebih kompleks, untuk membangun keluwesan dalam pendekatan.
5. Visualisasikan Fungsi: Jika memungkinkan, cobalah memvisualisasikan grafik fungsi logaritma dan eksponensial untuk mendapatkan pemahaman intuitif.

Penutup

Soal nomor 2 pada latihan 4.1.2, meskipun tampak sederhana, merupakan fondasi penting dalam pemahaman fungsi logaritma. Dengan menguraikan setiap langkah penyelesaian, mulai dari menentukan domain, menerapkan sifat logaritma, mengubah ke bentuk eksponensial, hingga memverifikasi solusi, kita dapat melihat betapa terstruktur dan logisnya proses matematika. Penguasaan materi ini tidak hanya akan membantu siswa meraih nilai yang baik, tetapi juga membekali mereka dengan alat berpikir yang kuat untuk menganalisis dunia di sekitar mereka yang seringkali diungkapkan melalui bahasa matematika. Teruslah berlatih, eksplorasi, dan jangan ragu untuk bertanya agar pemahaman Anda tentang fungsi logaritma semakin kokoh.

>